meditationatae

Just another WordPress.com site

About a 12025-digit “highly composite” number called “a4”

I’ve been looking for whole numbers ‘n’ for  which
the sum of divisors function  sigma(n)  has a value
that is “extremely large” relative to n.
 
It can be shown that:

  limsup n→∞ σ(n)/[n log(log(n)) ] = e^gamma .  (Grönwall, 1913)

where sigma(n) is the sum of all divisors of the positive integer n.

I got a  12,025-digit number with my computer
called “a4”, for which sigma(a4) is
“extremely large” compared to a4. a4 has  12025  digits.  
a4 ~=  1.623781154176 E+12024.

For the number a4 copied below, I get:

 { σ(a4)/[a4 log(log(a4)) ] }/exp(gamma)  ~=
 
   0.9995057175251443299303.

Lagarias proved that under the Riemann Hypothesis,

    sigma(n) <=  H(n) + exp(H(n))*log(H(n))

where  H(n) =  sum_{k = 1… n} 1/k , the n’th harmonic number.

Then, I get in case  n = a4   :

   sigma(n)/(H(n)+exp(H(n))*log(H(n)))  or

    sigma(a4)/(H(a4)+exp(H(a4))*log(H(a4)))

    ~=   0.9995036803664673.

   

a4 =
16237811541762972789514166460123923673395067608839
24028406634309358029589355223378969099788237553689
20599049264438588237765296630842287273871203957465
37949151857875310805812481853021943269772932601754
76608165716102542212270786547318215518197365021950
85940352086975685349378734676846820746136593245097
74123379386934084656654729731718862437764142920286
89002956410875614920141980383474090298472640461169
01283625545133698462987480526637270129860075450432
89328997670786627215064793943635403023762320916729
64190648549041796807708066030092266857277951553500
88728480485330059328783632691594579687932515822247
96283863689269434474693016222858125645204004437090
50285004735051299292739576327007944422148736727573
29878323763180602249342158151538269374931055939664
78426031070674419485393515966951885013740316579615
36311372279982815060237432616449675012459776512724
65506518703238908714181694459041173194790151394191
84889504476527742641027855617777310798144367850122
30876867771470506941066660284102106372589222175716
23918594020900978893583269056005744190591114726555
25278459056868461481138474933476531251928277504878
63806120739844462595538537492001686579782659245094
64358114826705367769689511446437569511256953949520
96678170739489693809184255264344688159857282125166
88782517282960607622039964743647902824357270927588
73004243630009801090539577927762904018640267588538
48608147404117132395939142592166410340923350564138
97671810540186266747941007095037624200810076735865
28591009162306533649855369248992661039498026351269
54794313415085426507872289662177151983982569160141
17147552507494439443823043127445151446099763529212
41169872764229425335894394895630140788288718920314
65663101450943331636478099308889067104156501950364
16285822765692593217480309248213909331627294614402
56758614947704187785555070223444341827631833504832
20459171450651283416879468047963531422287425928545
57494233101422313666271670730921351076409022775258
31024046492030357206192020732954104585699725056246
87021224793084669167402771551842436486679746432016
48563916944988259537337938700044061432896801374353
85873949326517555407035660446131697017085404279930
25283924629762532127107730139328713344882276566329
92036817548047453081241384179151292269312761964928
30452997315801216077304066231608847651723320370855
70292018752757813082752454910728834305047149407226
83034079683889458316294593808089491666247719494736
70097566390099940722620538411088255664118901395281
05331491765073040022819903751510347123340941684429
56424316914750653694539596676563385808011292405498
66518879828677124444760669763487957369973726525901
81542866128415785313081442313349575398595094738888
07777633361480659175752979842125177353886750234424
23437109949174487075600315488463613437729742456955
25462749639778754781349217932666774930963822866680
68245009505339376629304469806802011220143479026174
34579848548428150213092210932015714271843328050132
17568025832264996678587969507398180503028124022000
83615701646459768961141151713951483458573511711783
90767076576123049005547202082411934521982110251429
67407956926489639779046358787001169873171967118473
07072867643897351849666199961697169576543034534435
35014885926692206080426754417553903983238765189685
68771697987044959986543384805944296207139567641100
12572069573236455033289941973826575249524415960295
16642586404747610127598230921168800483894682156542
70639284037239762544964405634033220737839451381824
33026520966898962992289320606925746514259843465592
33748454397978706166528633594279353426620785263225
57136657588883358173486408948314499350294381995500
69686106897672221211263340643295362394948385476362
66731269852631360709345996906076241089710436730201
26085596140617529135054968040077330432430188759105
70410649437694714099599322400468254049718056605554
58904480019685841258106777650951662037569798322246
94314837462439955333865514913607330511812725672439
48579166587102530122703709200854522279397166302589
96942492141668152041798375351400191025254527726089
44542796251408548780640798530407086347820852168953
30281475033553019057117379670579125312324239828776
72320253056281538416433649757765953596345437770850
90335681516701496695733951651050417201383404000182
80132963648571174932423803254830305773735433189395
07654301327744760632706826511930246434949694763710
35641488535914169041876992420623259316234505746609
89686301824695661805174638439465587907431142444742
93020827927064702012688873011306511073525794471690
80853151384452887922584346902786525185495340662536
67558289566094297157935514460458059295509298340220
31121530726935174965729655183572709327269505144756
08538122552692661327365560400478996054653273054679
82829959244778720520252484525521104748876555948241
81911865957087200234762361684321728624060474539377
39140481184433035355682391608187559177769608710928
83615542973375354184567525258060490356646690071867
62846334680522195060853823739497010700333096273340
79472199411254681603542980078735831806675450912627
92180019118861320560152786336001200813193963831374
95098799011157557174978818463191200029616474811054
90684188569972220773961065554001959707354975525813
62810997097050160429537339873353524953622670155194
71814650993977539551655123476741252930502122563025
00985757124262257537247202708903505971229442228834
13103606470812768680819525597600383264258354055913
51763541145256691019688742584675814146857492347568
03862810534149262729959173284254930181964632086308
73947000184445348052653996796831047313301484495184
17462067951864372000782942679590750399874391274780
93390690479247651312458060735543211755649600644280
13032727805907506644011566476787221090504976386687
80834236675132436842524220918646233730024718610356
58702320013030516616799258420584673299591454015552
21541560345901059138661378287444182311531280415181
78927584647300147516247906335262108124981944917084
35790471957821455722981780509711429022541245811524
61763158796754391261574358366523171304662472593464
16001309651656754509726020884781653473892656826834
13051875541116720358498065972682016360499837736319
16638770612387441390350588826089701297884434946927
23247451836063971442575645558045430796945383636104
39665453660899354960410974965723374123040669300135
86824212183361834125955709632129019857857338610671
89197492613877981526568497204609831556080840224316
90896897176813767645741049297033143877526009728447
60932469656983522024912725207952974977113010483667
31673260185331275050212447609267217342761887108006
23155896520494507936412083489076833351255616652724
72751880972114853572325563627486510976202838922306
04483234580391694447779028764581667817274372645439
08069475914964120842558477737419675591707726357251
04998102591271349063096380457007225393641079225791
19473189937866634878939401993127026577692512360005
76221587696175988373185866763393942094503761339528
08353969268392163927441466845802471329877478597341
14508447263421088807831916836808247823904093053287
10238016745667900678842165681737353318264699268475
30530061167479842999265742417512903209205231571894
26762691721010637246399614159226325715977516856971
55988194950683699070284673016988174765705445342933
85579864344186422903682909996635766186979701617764
63919354577723393132848361387379194620293957106543
35985551208255159134616728729911595019292360322986
97065009082664173092454104016773095637838295647468
18877661785790168137681493461191854465845914451392
28354034522881096467253869039664671727650817750929
10903896210386868649389395915524474202543447126692
19500600105765952960514213576621317289759472462009
24564084385486109736855680668901980467396422576546
40238891740008551114446200465433915231591100313393
85949833025918126668416912825437495464244791997789
49837333971496298043287600196283589495337600256839
63570501774101114683341315678231930557682206920850
91340227622107035251148932555577144441203725147665
84597550097851923765758002950193262988455798796333
05515771490119145419038676452808319744922907845511
44044017848539451776817123435128405302488765539482
04736251819035652937495648372745859322817794484592
33674017446458920588896029046428922771791244976198
29042227399047588346140699728976388945186347363370
04395130320389796295704212628363197380858482771966
85175844226843342130317643446198517048962842154244
57656325782890497169663669856271180428056057826775
35149916439237546179940387317425739209322741585086
18083115841029946861585112665458351414755736366729
23902412365176556728490869020673455266381270560356
98734459221535716718107978271394473395746692850714
66843960852810401577150952420474089996973426633348
82422308906801976862027953590767862323499895291799
20027366531715413464069813532982987203371448348957
97026615405706504766561827066769977153282136885386
49039178382868052548485075726275494132911034906134
61348967167591891381232430987434354110927580068910
15786824626836051116586777560025222726162033416154
70716403656515843121420323512638774365349027617606
64348127654198737602136336848802025404068599982837
26362186723410542199459058303172107655012552336014
09820429041266369543747017026248096401317389197350
66575286102673100393348355763608538558399553988289
17160944700983920547482552709391072705859267781878
18216550213060371969608875639055622289580796859749
80288169568626828102510781465522639891162818525351
94215223425674918275104621100580918392956082890382
66268369900897391197776276989311255915443376069694
77822184348587111443619117536824152675955827487426
13981350575441066866208649642524334938500902536243
46876189946559803619564713706309241464749470279715
86578737372097624762103425231868056424586397910033
63443111531181072222575767048448010410240196621687
26219394740473805487802906717455352741959327744420
87059007242356002224032462074180814271047170845297
79055990105701552608904087021699031732904517470996
67505772935393937961190575021831007023139332056678
82450307519405851362064832990734801520511360786095
40824085716783195293701451903347260227525798497426
56224539093576839876313428348083947199080432011058
59849625586907887254160272624161014031457077437078
26736253335431934567004349907272101907829000335760
45122612327347359784282338223944314328384504026360
47982489161571757212203286894201239803872144829008
00272493086699335075496329273262950079774566956388
69195028661441021997768012455104224433438374490330
45223979693349303561722384703204147705247641206759
72413896553142967692779118885862612923409507981348
21149638185897654963688248811598526647470637851591
61492421507121064111139909726855370193904426320918
96743911708816982532757753385198383535275550152699
05756342891599020478921753635662982047688101912489
72688653880026675921785057411394669351489100739009
27052229749470728153167966040420317906042859265851
26423004276929846706273298182222180667729471331690
23300382078754055529297625915107818559607598413511
06833593260086044503041570911742818420635394197082
56280720137507671040826475916678500767208870902958
78363737984687360428030922312723110636353712603674
90058946754877650637881871146666771676017307575422
38987832353767522202269887411016891126590343361710
53651743516770353253789991040094734498228088579868
55636867830718453846866167401599931431754543890210
47588684729152287478177869385161341686903827916753
28020928655720342335658133356497064611573221191993
37584389605511245357583481558485112946479634722261
78912887496524065924952822248344785604287577993398
25049526163916063285450666224868896077922894871610
97585506459930634583046615023914301407368812382643
17447494354306154367373262648728087580994283431256
37092667040564712518214502830113822224840367391992
72922567651484822732517713559227978296278047722308
32326474877237855321055290810269266932483625181709
00806893940575572358954988002105180193205260221200
24539920815998438307823228699706866557396926796013
10219291845254715645213606172080390552658230661579
27494474051993451951959307659429832563523106698519
65952297599770884046312962678892851900298460393075
74620179776970187901218479271340503457752604652478
99046039945210657127200005774292119847444504692585
41633204183877123812789560945921626973813330041663
97226117438049842554531177774010506144311654619264
09285340354917426777749968545418225612742205899866
48374574836540722270084727775999929914079210699140
13685200481468986149898623183577700186608120010982
59638
62490
64486
91200
00000

Advertisements

Written by meditationatae

June 18, 2013 at 10:30 pm

%d bloggers like this: